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@Valentino Hola Valentino! Nop, si se pudiera hacer así no hubieramos hecho todo este choclo :( jaja
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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4.
a) Analizar si las siguientes funciones son derivables en $x_{0}=0$ :
a) Analizar si las siguientes funciones son derivables en $x_{0}=0$ :
1) $f(x)=|x|$
2) $f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} x-1 & x<0 \\ \sqrt{x+1} & x \geq 0\end{cases}$
3) $f(x)=\sqrt[3]{x}$
4) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\operatorname{sen}(3 x) & x<0 \\ 5 x^{2}+3 x & x \geq 0\end{array}\right.$
Respuesta
1) $f(x)=|x|$
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Para estudiar derivabilidad de la función \( f(x) = |x| \) en \( x_0 = 0 \), comencemos escribiéndola como una función partida:
\( f(x) = \begin{cases}
-x & \text{si } x < 0 \\
x & \text{si } x \geq 0
\end{cases} \)
Podrías arrancar este ejercicio estudiando continuidad de $f$ en $x=0$ y vas a ver que efectivamente es continua. Así que vamos a centrarnos en estudiar derivabilidad en $x=0$.
En este caso, tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)
En este caso, fijate que según si $h$ tienda a cero por derecha o por izquierda, lo de adentro de $f$ va a tender a algo menor a cero o mayor a cero, y por lo tanto la expresión a usar es distinta. Necesariamente tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{-h - 0}{h} = -1 \)
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h - 0}{h} = 1 \)
Los límites por derecha y por izquierda no coinciden, por lo tanto,
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \text{No existe} \)
Esto significa que $f(x)=|x|$ no es derivable en \( x = 0 \).
2) $f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} x-1 & x<0 \\ \sqrt{x+1} & x \geq 0\end{cases}$
Atenti acá. Nosotros vimos que, para que una función tenga alguna chance de ser derivable, primero seguro tenía que ser continua en ese punto. Si una función no es continua en un punto, entonces ya está, se terminó, jamás podría ser derivable. En este caso, si estudiamos continuidad en $x=0$ vemos que:
1) $f(0) = 1$
2) Calculamos los límites cuando $x$ tiende a cero, abrimos por derecha y por izquierda:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{2}x - 1 = -1$
$\lim_{x \to 0^+} = \sqrt{x+1} = 1$
Como los límites laterales no coinciden, el límite no existe y por lo tanto $f$ no es continua en $x=0$. Y si no es continua en ese punto, podemos asegurar también que tampoco será derivable.
3) $f(x)=\sqrt[3]{x}$
Esta no es una función partida, así que podemos calcular su derivada por tabla. La escribimos como $f(x)=\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ y derivamos con reglas, nos queda:
$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{-2/3}$
Y ahora ojo, escribámosla bien, fijate que esa $x$ nos quedó elevada a un exponente negativo... es decir, está en el denominador!
$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}}$
¿Cuál es el dominio de $f'(x)$? $f'(x)$ no está definida para $x=0$, es decir, $f'(0)$ no existe. Por lo tanto, $f$ no es derivable en $x=0$.
4) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\operatorname{sen}(3 x) & x<0 \\ 5 x^{2}+3 x & x \geq 0\end{array}\right.$
Podés empezar estudiando continuidad en $x=0$ y vas a ver que efectivamente es continua en ese punto, así que seguimos con el estudio de derivabilidad. Como nos piden estudiar derivabilidad en $x=0$, justo donde la función se parte, tenemos que hacerlo si o si usando el cociente incremental:
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)
Por como está definida la función, tenemos que abrir por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{\sin(3h)}{h} \)
Multiplico y divido por $3$ para que aparezca el "límite especial" (ya falta poquísimo para L'Hopital, lo prometo!)
$\lim_{{h \to 0^-}} \frac{\sin(3h)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} 3\cdot \frac{\sin(3h)}{3h} = 3$
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{5h^2+3h}{h} \)
Sacamos factor común $h$ en el numerador y simplificamos:
$\lim_{{h \to 0^+}} \frac{5h^2+3h}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h(5h+3)}{h} =\lim_{{h \to 0^+}} 5h + 3 = 3$
Como los limites laterales coinciden, entonces...
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 3 \)
Por lo tanto, $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = 3$.
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Valentino
3 de junio 17:37
Holaa, una pregunta. No basta con analizar si es continua, y al confirmar q es continua evaluo la derivada en 0, como 0>= 0 uso 5x^2+3x, derivo eso y me queda 10x+3, evaluo esa derivada en x = 0 y me da 3?
Flor
PROFE
4 de junio 12:30
Acordate que el hecho de que una función sea continua no te asegura que vaya a ser derivable... para ver si es derivable justo en el $x$ en donde se parte una función partida, no queda otra que hacerlo con el cociente incremental como lo hicimos acá
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